Механические колебания

Зачем это нужно

Качели, маятник часов, струна гитары, сердце, крылья комара, землетрясение — всё это колебания. Колебаниями называют движения, которые повторяются через равные промежутки времени. Без понимания колебаний невозможно построить мост, который не раскачается от ветра, точные часы или музыкальный инструмент. Колебания — основа следующей темы: волны и звук.

Свободные колебания

Колебания, которые происходят благодаря начальному запасу энергии без внешнего воздействия, называются свободными. Для них нужны:

• положение равновесия;
• возвращающая сила, направленная к положению равновесия (сила тяжести у маятника, сила упругости у пружины);
• инертность: тело «проскакивает» положение равновесия.

Две основные модели:

• математический маятник — точечный груз на лёгкой нерастяжимой нити;
• пружинный маятник — груз на пружине.

Величины, описывающие колебания

За один период тело проходит путь $4A$: туда, обратно и снова до исходной точки.

Колебания, при которых координата меняется по закону синуса или косинуса, называются гармоническими: $x = A\cos\frac{2\pi t}{T}$.

Периоды маятников

$T_{\text{мат}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \qquad T_{\text{пруж}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.$

Важные следствия:

• период математического маятника не зависит от массы груза и (при малых углах) от амплитуды — это свойство изохронности, открытое Галилеем;
• удлините нить в 4 раза — период вырастет вдвое;
• на Луне, где $g$ в 6 раз меньше, маятник качается в $\sqrt{6} \approx 2{,}4$ раза медленнее;
• тяжёлый груз на пружине колеблется медленнее, а на жёсткой пружине — быстрее.

Разобранный пример 1

Маятник совершил 30 колебаний за 15 с. Найдите период и частоту.

$T = \frac{15}{30} = 0{,}5$ с, $\nu = \frac{1}{0{,}5} = 2$ Гц.

Разобранный пример 2

Найдите период математического маятника длиной 2,5 м ($g = 10$ м/с²).

$T = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}5}{10}} = 2\pi \cdot 0{,}5 = \pi \approx 3{,}14$ с.

Разобранный пример 3

Груз массой 400 г на пружине жёсткостью 40 Н/м. Найдите период.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}4}{40}} = 2\pi \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63$ с.

Разобранный пример 4 (лабораторная работа)

Нить маятника длиной 1 м. Ученик насчитал 20 колебаний за 40 с. Найдите ускорение свободного падения.

1. $T = \frac{40}{20} = 2$ с.
2. Из формулы периода: $g = \frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{4 \cdot 9{,}87 \cdot 1}{4} \approx 9{,}9$ м/с².
3. Чтобы уменьшить ошибку, считают много колебаний подряд: ошибка реакции секундомера делится на их число.

Превращения энергии

В крайней точке скорость равна нулю — вся энергия потенциальная. В положении равновесия скорость наибольшая — вся энергия кинетическая. Без трения полная энергия сохраняется, и колебания длятся бесконечно.

Колебания вокруг нас

Частоты колебаний в природе и технике очень разные. Сердце взрослого человека в покое бьётся с частотой около 1,2 Гц, крылья комара колеблются с частотой около 600 Гц, кварцевая пластинка в электронных часах — 32 768 Гц. Чем выше частота, тем короче период: у кварца он составляет около тридцати микросекунд.

Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс

Из-за трения и сопротивления воздуха амплитуда свободных колебаний постепенно уменьшается — колебания затухают. Чтобы они не прекращались, нужна периодическая внешняя сила: такие колебания называются вынужденными, их частота равна частоте внешней силы.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы. Так раскачивают качели небольшими толчками в такт. Резонанс полезен (настройка радиоприёмника, музыкальные инструменты), но бывает опасен: солдатам запрещено идти в ногу по мосту, а в 1940 году ветер раскачал и разрушил Такомский мост в США.

Немного истории

По преданию, молодой Галилей в Пизанском соборе следил за качанием люстры, сверяя время по собственному пульсу, и заметил, что период не зависит от размаха. Христиан Гюйгенс в 1657 году построил первые маятниковые часы — их точность выросла в десятки раз. Леон Фуко в 1851 году подвесил в парижском Пантеоне маятник длиной 67 м: плоскость его качаний медленно поворачивалась, что наглядно доказывало вращение Земли.

Типичные ошибки

• Считать, что период маятника зависит от массы груза.
• Путать амплитуду (от равновесия до края) и размах (от края до края, $2A$).
• Забывать переводить граммы в килограммы и сантиметры в метры в формулах периода.
• Считать путь за период равным $2A$, а не $4A$.
• Думать, что резонанс бывает только у маятников.

Что дальше

• Механические волны. Звук — колебания распространяются в пространстве: волны и звук.