Закон сохранения механической энергии

Зачем это нужно

Скейтер скатывается в рампу и взлетает на другую сторону почти на ту же высоту. Маятник часов качается часами. Американские горки работают без мотора после первого подъёма. Во всех этих случаях энергия переходит из одной формы в другую, но её общее количество сохраняется. Закон сохранения энергии позволяет найти скорость или высоту, не разбираясь в подробностях движения, и часто решает задачу в одну строку там, где через законы Ньютона пришлось бы долго считать.

Работа и энергия

Механическая работа постоянной силы: $A = F s \cos\alpha$ , где $\alpha$ — угол между силой и перемещением. Работа положительна, если сила «помогает» движению, отрицательна, если мешает (сила трения), и равна нулю, если сила перпендикулярна перемещению.

Энергия — способность тела совершить работу. В механике различают два вида энергии.

Вид	Формула	От чего зависит
кинетическая	$E_к = \dfrac{m v^2}{2}$	от скорости
потенциальная (сила тяжести)	$E_п = m g h$	от высоты над нулевым уровнем
потенциальная (пружина)	$E_п = \dfrac{k x^2}{2}$	от деформации

Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии: $A = E_{к2} - E_{к1}$ .

Закон сохранения

Пусть тело массой $m$ свободно падает с высоты $h_1$ до $h_2$ . Сила тяжести совершает работу $A = mg(h_1 - h_2) = E_{п1} - E_{п2}$ . По теореме о кинетической энергии та же работа равна $E_{к2} - E_{к1}$ . Приравняв, получаем

$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}.$

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения и упругости, остаётся постоянной. Если действует трение или сопротивление, механическая энергия уменьшается и переходит во внутреннюю (тела нагреваются). Полная энергия при этом всё равно сохраняется — это общий закон природы.

Мяч падает с высоты h; в трёх положениях показаны столбики потенциальной, кинетической и полной энергии

Разобранный пример 1

Мяч падает с высоты 20 м без начальной скорости. Найдите скорость у земли ( $g = 10$ м/с²).

$mgh = \frac{mv^2}{2}$ , масса сокращается: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{400} = 20$ м/с.

Разобранный пример 2

Пружинный пистолет: жёсткость пружины 1000 Н/м, сжатие 10 см, масса шарика 100 г. С какой скоростью вылетит шарик?

$E_п = \frac{1000 \cdot 0{,}01}{2} = 5$ Дж.
$\frac{0{,}1 \cdot v^2}{2} = 5$ , $v^2 = 100$ , $v = 10$ м/с.

Разобранный пример 3 (с трением)

Санки массой 50 кг скатились с горки высотой 5 м и внизу имели скорость 8 м/с. Сколько энергии ушло на трение?

$E_1 = 50 \cdot 10 \cdot 5 = 2500$ Дж, $E_2 = \frac{50 \cdot 64}{2} = 1600$ Дж. На трение ушло $900$ Дж.

Упругий и неупругий удары

Абсолютно упругий удар (бильярдные шары, стальные шарики): сохраняются и импульс, и механическая энергия.
Абсолютно неупругий удар (тела слипаются): сохраняется только импульс, часть кинетической энергии переходит во внутреннюю.

Разобранный пример 4

Тележка 2 кг со скоростью 6 м/с сцепляется с покоящейся тележкой 1 кг. Сколько механической энергии теряется?

По закону сохранения импульса общая скорость $v = 4$ м/с.
До удара: $\frac{2 \cdot 36}{2} = 36$ Дж. После: $\frac{3 \cdot 16}{2} = 24$ Дж.
Потеря: $12$ Дж — треть энергии ушла на деформацию и нагрев.

Как решать задачи на сохранение энергии

Выберите два состояния системы: начальное и конечное.
Выберите нулевой уровень высоты (обычно самую низкую точку).
Запишите полную энергию в каждом состоянии: $E = E_к + E_п$ .
Если трения нет, приравняйте энергии. Если есть, то $E_1 = E_2 + Q$ , где $Q$ — энергия, ушедшая в тепло.
Помните, что масса часто сокращается: скорость падения не зависит от массы.

Мощность и КПД

Мощность — быстрота совершения работы: $N = \frac{A}{t}$ , в ваттах. При равномерном движении $N = F v$ . КПД механизма — доля полезной работы: $\eta = \frac{A_{пол}}{A_{затр}} \cdot 100\,\%$ . Он всегда меньше 100 %, потому что часть энергии уходит на трение.

Немного истории

Идея сохранения «живой силы» ( $mv^2$ ) восходит к Лейбницу (XVII век). Общий закон сохранения энергии сформулировали в 1840-х годах врач Юлиус Майер, пивовар и физик Джеймс Джоуль и Герман Гельмгольц. Джоуль измерил, сколько теплоты даёт механическая работа; в его честь названа единица энергии.

Типичные ошибки

Применять закон сохранения механической энергии при наличии трения.
Считать, что при неупругом ударе энергия сохраняется.
Забывать возводить скорость в квадрат или делить на 2.
Подставлять деформацию пружины в сантиметрах.
Неправильно выбирать нулевой уровень: высоту отсчитывают от одного и того же уровня для всех положений.

Что дальше

Механические колебания — колебания: непрерывное превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно.