Дисперсия и стандартное отклонение

Зачем это нужно

У двух учеников средняя оценка 4. Но у одного все оценки — четвёрки, а у другого пятёрки чередуются с тройками. Среднее одинаковое, а «картина» разная: второй учится нестабильно. Размах описывает разброс грубо — только по двум крайним значениям. Нужна мера, учитывающая все данные. Такой мерой служат дисперсия и стандартное отклонение. Их используют повсюду: в контроле качества продукции (насколько детали отклоняются от нормы), в финансах (риск вложений), в метеорологии, медицине, спорте, при обработке результатов измерений.

Отклонения от среднего

Пусть дан набор $x_1, x_2, \ldots, x_n$ со средним $\bar{x}$. Отклонение числа $x_i$ от среднего — разность $x_i - \bar{x}$.

Свойство: сумма всех отклонений равна нулю. Положительные и отрицательные отклонения взаимно уничтожаются, поэтому «среднее отклонение» всегда 0 и разброс не описывает. Чтобы избавиться от знаков, отклонения возводят в квадрат.

Дисперсия

Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего:

$D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.$

Чем больше разброс данных вокруг среднего, тем больше дисперсия. Если все числа одинаковы, дисперсия равна нулю.

Стандартное отклонение

Дисперсия измеряется в квадратах единиц данных (если данные в сантиметрах — дисперсия в см²), что неудобно. Поэтому используют стандартное отклонение:

$\sigma = \sqrt{D}.$

Оно измеряется в тех же единицах, что и данные, и показывает «типичное» отклонение от среднего.

Разобранный пример 1

Найдите дисперсию и стандартное отклонение набора 3, 5, 3, 5, 4.

1. Среднее: $(3 + 5 + 3 + 5 + 4) : 5 = 4$.
2. Отклонения: $-1, 1, -1, 1, 0$ (сумма $0$ — проверка).
3. Квадраты: $1, 1, 1, 1, 0$, их сумма $4$.
4. $D = 4 : 5 = 0{,}8$, $\sigma = \sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89$.

Разобранный пример 2

Время пробежки двух спортсменов (с): А — 12, 13, 14, 13; Б — 11, 15, 12, 14. Кто бегает стабильнее?

1. Среднее у обоих: $52 : 4 = 13$ с.
2. А: отклонения $-1, 0, 1, 0$; $D_А = 2 : 4 = 0{,}5$.
3. Б: отклонения $-2, 2, -1, 1$; $D_Б = 10 : 4 = 2{,}5$.
4. Дисперсия у А меньше — он стабильнее.

Удобная формула

Дисперсию можно вычислить как среднее квадратов минус квадрат среднего:

$D = \overline{x^2} - \bar{x}^2.$

Для набора 3, 5, 3, 5, 4: среднее квадратов $(9 + 25 + 9 + 25 + 16) : 5 = 16{,}8$, квадрат среднего 16, $D = 0{,}8$ — тот же ответ.

Свойства дисперсии

1. Если ко всем числам прибавить одно и то же число, дисперсия не изменится (весь набор сдвигается, разброс прежний).
2. Если все числа умножить на $k$, дисперсия умножится на $k^2$, а стандартное отклонение — на $|k|$.

Например, если перевести рост из метров в сантиметры (умножить на 100), стандартное отклонение вырастет в 100 раз, а дисперсия — в 10 000 раз.

Правило «двух сигм»

Для многих данных, встречающихся в природе (рост людей, ошибки измерений), около 95 % значений лежат в пределах $\bar{x} \pm 2\sigma$. Так, если средний рост мальчиков 15 лет 170 см, а $\sigma = 7$ см, то почти все они имеют рост от 156 до 184 см. Значение, лежащее далеко за этими границами, — повод проверить данные: нет ли ошибки или выброса.

Где используют меры разброса

• Контроль качества. На заводе измеряют размеры деталей. Если стандартное отклонение растёт, станок начинает «разбалтываться» — его пора настраивать, даже если среднее пока в норме.
• Финансы. Стандартное отклонение доходности акций называют волатильностью и используют как меру риска: чем она больше, тем сильнее «скачет» цена.
• Метеорология. Два города могут иметь одинаковую среднюю годовую температуру, но в одном климат мягкий (малое $\sigma$), а в другом — резко континентальный (большое $\sigma$).
• Спорт и учёба. Тренер выбирает спортсмена не только по среднему результату, но и по стабильности.

Важно помнить: дисперсия, как и среднее, чувствительна к выбросам — одно сильно отклоняющееся значение даёт большой квадрат отклонения и заметно увеличивает дисперсию. Поэтому перед расчётом полезно посмотреть на данные и проверить, нет ли среди них ошибок записи.

Типичные ошибки

• Забывать возводить отклонения в квадрат: их сумма всегда даёт 0.
• Делить на $n - 1$ вместо $n$ (в школьном курсе — на $n$).
• Путать дисперсию и стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{D}$.
• Считать, что прибавление числа ко всем данным увеличивает дисперсию.
• Сравнивать разброс по среднему, а не по дисперсии.

Что дальше

• Случайные величины и распределения. Математическое ожидание — случайные величины и их числовые характеристики.
• Математическое ожидание и дисперсия случайной величины — дисперсия случайной величины.