Закон больших чисел. Геометрическая вероятность

Зачем это нужно

Почему страховая компания уверена в своей прибыли, хотя каждый отдельный страховой случай непредсказуем? Почему казино всегда выигрывает у игроков в целом? Почему опрос тысячи человек позволяет судить о мнении миллионов? Ответ — закон больших чисел: в длинной серии опытов случайность «усредняется», и частота события становится почти постоянной. А геометрическая вероятность позволяет считать вероятности там, где исходов бесконечно много, например для случайной точки на отрезке или в фигуре.

Частота и вероятность

Относительная частота события — доля опытов, в которых оно произошло: $\frac{m}{n}$. В коротких сериях частота сильно «скачет»: из 10 бросков монеты легко может выпасть 7 орлов. Но чем длиннее серия, тем ближе частота к вероятности.

Закон больших чисел (Якоб Бернулли, 1713): при большом числе независимых испытаний относительная частота события с большой вероятностью сколь угодно мало отличается от его вероятности $p$.

Важно понимать, что именно утверждает закон:

• доля успехов приближается к $p$, а разность между числом успехов и $np$ может расти. При 10 000 бросков отклонение на 50 орлов — обычное дело, но это всего 0,5 %;
• типичное отклонение частоты от $p$ уменьшается примерно как $\frac{1}{\sqrt{n}}$: чтобы уменьшить ошибку вдвое, нужно вчетверо больше опытов;
• монета не помнит прошлого. После пяти орлов подряд вероятность орла по-прежнему $\frac{1}{2}$. Вера в то, что «теперь должна выпасть решка», называется ошибкой игрока.

Закон больших чисел позволяет измерять вероятности там, где их нельзя вычислить по формуле: вероятность рождения мальчика (около 0,512), вероятность брака на производстве, частоту букв в тексте.

Геометрическая вероятность

Если точку выбирают случайно и равномерно в фигуре $\Omega$, то вероятность попасть в часть $A$ равна отношению мер — длин, площадей или объёмов:

$P(A) = \frac{\text{мера } A}{\text{мера } \Omega}.$

Разобранный пример 1

На отрезке $[0; 10]$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность, что она попадёт в $[2; 5]$.

$P = \frac{5 - 2}{10} = 0{,}3$.

Разобранный пример 2

Автобус ходит каждые 15 минут. Пассажир приходит в случайный момент. Какова вероятность ждать не больше 5 минут?

Время ожидания равномерно распределено на $[0; 15]$: $P = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Разобранный пример 3 (задача о встрече)

Двое договорились встретиться между 12:00 и 13:00, приходят в случайные моменты и ждут друг друга 20 минут. Найдите вероятность встречи.

1. Моменты прихода $x$ и $y$ (в минутах) — точка в квадрате $60 \times 60$.
2. Встреча происходит, если $|x - y| \le 20$. Это полоса вдоль диагонали; вне её — два прямоугольных треугольника с катетами 40.
3. $P = 1 - \frac{40^2}{60^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}56$.

Разобранный пример 4

Дротик наугад попадает в круглую мишень радиуса 10 см. Какова вероятность попасть в «яблочко» радиуса 2 см?

$P = \frac{\pi \cdot 2^2}{\pi \cdot 10^2} = \frac{4}{100} = 0{,}04$. Радиус в 5 раз меньше, а вероятность — в 25 раз.

Метод Монте-Карло

Объединим обе идеи. Бросим много случайных точек в квадрат со стороной 2, в который вписан круг радиуса 1. Вероятность попасть в круг равна $\frac{\pi}{4}$, а по закону больших чисел доля попавших точек к этому числу приближается. Значит, $\pi \approx 4 \cdot \frac{m}{n}$. На рисунке из 300 точек внутрь попало 238, откуда $\pi \approx 3{,}17$. Такой способ называют методом Монте-Карло; его используют в физике, экономике и компьютерной графике, когда точная формула слишком сложна.

Немного истории

Якоб Бернулли доказывал закон больших чисел двадцать лет и назвал его «золотой теоремой»; книга «Искусство предположений» вышла после его смерти, в 1713 году. В XVIII веке Жорж Бюффон бросал иглу на пол, расчерченный параллельными линиями, и показал, что вероятность пересечения линии связана с числом $\pi$. Это одна из первых задач на геометрическую вероятность.

Типичные ошибки

• Ожидать, что частота совпадёт с вероятностью в короткой серии.
• Верить в «ошибку игрока»: прошлые исходы не влияют на независимые будущие.
• Думать, что закон больших чисел выравнивает число успехов, а не их долю.
• В геометрической вероятности делить не на ту меру: длину на площадь и т. п.
• Забывать, что точка должна выбираться равномерно.

Что дальше

• Частоты, симуляции и закон больших чисел — симуляции и эксперименты своими руками.