Схема Бернулли. Биномиальное распределение

Зачем это нужно

Баскетболист бросает 10 штрафных. Какова вероятность, что он забьёт ровно 8? Завод выпускает лампы, 2 % из них бракованные: сколько бракованных в партии из 100 штук и насколько это число может колебаться? Как часто при 20 подбрасываниях монеты выпадет 15 орлов и больше? Все такие задачи устроены одинаково: опыт с двумя исходами повторяется много раз. Их решает схема Бернулли, одна из самых применяемых моделей теории вероятностей.

Испытания Бернулли

Схема Бернулли — серия из $n$ испытаний, в которой:

1. у каждого испытания два исхода: успех (вероятность $p$) и неудача (вероятность $q = 1 - p$);
2. испытания независимы;
3. вероятность успеха $p$ одинакова во всех испытаниях.

Примеры: броски монеты, выстрелы по мишени, проверка изделий на брак, ответы наугад на вопросы теста.

Формула Бернулли

Вероятность того, что в $n$ испытаниях будет ровно $k$ успехов:

$P_n(k) = C_n^k \, p^k q^{n-k}, \qquad C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$

Откуда она берётся: любая конкретная последовательность из $k$ успехов и $n - k$ неудач имеет вероятность $p^k q^{n-k}$ (события независимы, вероятности перемножаются), а число таких последовательностей — это число способов выбрать $k$ мест из $n$, то есть $C_n^k$.

Разобранный пример 1

Монету бросают 5 раз. Найдите вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза.

$P_5(3) = C_5^3 \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^2 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0{,}3125.$

Разобранный пример 2

Баскетболист попадает с вероятностью 0,8. Он делает 3 броска. Найдите вероятность ровно двух попаданий и вероятность трёх попаданий.

1. $P_3(2) = C_3^2 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 3 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}384$.
2. $P_3(3) = 0{,}8^3 = 0{,}512$.

Разобранный пример 3 («хотя бы один»)

Кубик бросают 4 раза. Какова вероятность, что шестёрка выпадет хотя бы раз?

Удобно перейти к противоположному событию «ни одной шестёрки»: $P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 1 - 0{,}482 = 0{,}518$.

Это знаменитая задача шевалье де Мере (XVII век). Он заметил, что на такое событие выгодно спорить, а на «хотя бы одну пару шестёрок при 24 бросках двух кубиков» — уже невыгодно: там вероятность около 0,491. Объяснить разницу ему помог Паскаль.

Биномиальное распределение

Число успехов $X$ в схеме Бернулли — случайная величина со значениями $0, 1, \ldots, n$. Её распределение называется биномиальным. Для него

$E(X) = np, \qquad D(X) = npq.$

Смысл ожидания очевиден: из 100 бросков с вероятностью попадания 0,7 в среднем будет 70 попаданий. Это следует из свойства $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$: каждое испытание в среднем даёт $p$ успехов.

Наиболее вероятное число успехов находится рядом с $np$. Но даже оно имеет не очень большую вероятность: при 10 бросках монеты ровно 5 орлов выпадает лишь в 25 % случаев.

Разобранный пример 4

Стрелок попадает с вероятностью 0,7. Найдите ожидание и стандартное отклонение числа попаданий в 100 выстрелах.

$E = 100 \cdot 0{,}7 = 70$, $D = 100 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 21$, $\sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}6$. Обычно число попаданий будет в пределах примерно от 61 до 79.

Серия до первого успеха

Иногда испытания повторяют до первого успеха: бросают кубик, пока не выпадет шестёрка, или звонят, пока не дозвонятся. Вероятность того, что первый успех случится ровно в $k$-м испытании, равна $q^{k-1} p$: сначала $k - 1$ неудача, затем успех. Например, первая шестёрка на третьем броске выпадает с вероятностью $\left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0{,}116$. В среднем до первого успеха нужно $\frac{1}{p}$ испытаний, то есть шестёрку приходится ждать в среднем 6 бросков.

Доска Гальтона

Шарик падает через ряды гвоздиков и на каждом отскакивает влево или вправо с вероятностью $\frac{1}{2}$. Номер ячейки, куда он попадёт, — это число отскоков вправо, то есть биномиальная величина. Если бросить сотни шариков, они сложатся в «горку», похожую на диаграмму выше. Попробуйте сами в симуляции PhET из списка ссылок.

Треугольник Паскаля

Числа $C_n^k$ удобно брать из треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух чисел над ним. Строка для $n = 5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Сумма строки равна $2^n$ — общему числу последовательностей из орлов и решек.

Типичные ошибки

• Забывать множитель $C_n^k$ и считать вероятность одной конкретной последовательности.
• Применять формулу, когда испытания зависимы (например, вытаскивание без возвращения).
• Решать «хотя бы один» перебором вместо перехода к противоположному событию.
• Путать $p$ и $q$ в показателях степени.
• Думать, что наиболее вероятное число успехов наступает почти наверняка.

Что дальше

• Закон больших чисел. Геометрическая вероятность — закон больших чисел: доля успехов приближается к $p$.
• Дискретные распределения — геометрическое и пуассоновское — геометрическое и пуассоновское распределения.