Частоты, симуляции и закон больших чисел

Зачем это нужно

Вероятность выпадения орла легко вычислить. А какова вероятность, что канцелярская кнопка упадёт остриём вверх? Что в классе из 25 человек найдутся двое с одинаковым днём рождения? Что выгоднее в телеигре — менять выбор или нет? Иногда формулу найти трудно или невозможно, и тогда вероятность измеряют опытом: проводят много испытаний, вручную или на компьютере, и смотрят на частоту. Это называется моделированием или симуляцией. Так работают инженеры, экономисты, биологи и разработчики игр.

Частота как оценка вероятности

Относительная частота события $A$ в серии из $n$ опытов — это $\frac{m}{n}$, где $m$ — число опытов, в которых $A$ произошло. По закону больших чисел при росте $n$ частота приближается к вероятности. Поэтому частоту длинной серии можно взять как оценку неизвестной вероятности.

Разобранный пример 1

Кнопку бросили 200 раз, остриём вверх она упала 76 раз. Оцените вероятность.

$p \approx \frac{76}{200} = 0{,}38$. Вычислить её теоретически почти невозможно — она зависит от формы, массы и поверхности.

Насколько точна оценка

Частота почти никогда не совпадает с вероятностью точно. Типичная погрешность оценки примерно равна

$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \le \frac{1}{2\sqrt{n}}.$

• При $n = 100$ погрешность около 0,05: частота 0,43 вполне совместима с $p = 0{,}5$.
• При $n = 400$ — около 0,025.
• Чтобы получить точность около 0,01, нужно порядка 2500 опытов.

Вывод: чтобы повысить точность в 10 раз, опытов нужно в 100 раз больше.

Разобранный пример 2

При 100 бросках монеты выпало 58 орлов. Можно ли считать монету нечестной?

Погрешность около 0,05, отклонение $0{,}58 - 0{,}5 = 0{,}08$ — меньше двух погрешностей. Такое случается довольно часто, так что уверенных оснований подозревать монету нет. Если бы 5800 орлов выпало из 10 000, это было бы почти невероятно для честной монеты.

Как провести симуляцию

Вручную: монеты, кубики, карточки в мешке, таблицы случайных чисел.

В электронной таблице: функция СЛУЧМЕЖДУ(1;6) имитирует бросок кубика, СЛЧИС() даёт случайное число от 0 до 1. Протяните формулу на 10 000 строк и посчитайте частоту функцией СЧЁТЕСЛИ.

В программе — несколько строк кода в цикле: «повторить $n$ раз опыт, посчитать успехи, разделить на $n$».

План любой симуляции:

1. Описать опыт так, чтобы его можно было воспроизвести случайными числами.
2. Повторить опыт $n$ раз (чем больше, тем точнее).
3. Посчитать частоту интересующего события.
4. Оценить погрешность и, если возможно, сравнить с теорией.

Разобранный пример 3 (парадокс дней рождения)

Какова вероятность, что среди 23 человек есть двое с одинаковым днём рождения?

Симуляция: 23 раза выбираем случайное число от 1 до 365, проверяем, есть ли совпадения, и повторяем так 10 000 раз. Частота получается около 0,5. Точный расчёт даёт $1 - \frac{365 \cdot 364 \cdot \ldots \cdot 343}{365^{23}} \approx 0{,}507$. Большинство людей интуитивно называют гораздо меньшее число.

Разобранный пример 4 (Монти Холл)

За одной из трёх дверей приз. Вы выбрали дверь, ведущий открыл другую — пустую — и предлагает сменить выбор. Стоит ли?

Симуляция 1000 игр: стратегия «менять» выиграла примерно 667 раз, «не менять» — примерно 333. Объяснение: первый выбор верен с вероятностью $\frac{1}{3}$, значит, в $\frac{2}{3}$ случаев приз за оставшейся дверью. Многие математики сначала не верили ответу, пока не увидели результаты симуляций.

Немного истории

Задолго до компьютеров вероятности проверяли вручную. Граф Бюффон в XVIII веке бросил монету 4040 раз и получил 2048 орлов. Статистик Карл Пирсон бросил монету 24 000 раз: 12 012 орлов, частота 0,5005. Название «метод Монте-Карло» (в честь города, знаменитого казино) придумали в 1940-х годах Станислав Улам и Джон фон Нейман, когда моделировали поведение нейтронов на первых ЭВМ.

Типичные ошибки

• Делать выводы по слишком короткой серии.
• Считать частоту равной вероятности, а не её оценкой.
• Ошибаться в модели: например, имитировать сумму двух кубиков одним случайным числом от 2 до 12, хотя эти суммы не равновероятны.
• Не повторять симуляцию: два запуска дают немного разные результаты, и это нормально.
• Ожидать, что при удвоении числа опытов погрешность уменьшится вдвое (на самом деле — лишь в $\sqrt{2}$ раз).

Что дальше

• Закон больших чисел. Геометрическая вероятность — закон больших чисел и геометрическая вероятность строго.
• Случайные величины и распределения. Математическое ожидание — среднее значение случайной величины и его оценка по опытам.