Случайные величины и распределения. Математическое ожидание

Зачем это нужно

Сколько в среднем выиграет покупатель лотерейного билета? Выгодна ли страховка? Сколько баллов в среднем наберёт ученик, если будет угадывать ответы? Чтобы ответить, нужно связать случайные события с числами. Так появляется понятие случайной величины, а её «среднее значение» — математическое ожидание — один из главных инструментов теории вероятностей, экономики, страхования и анализа игр. С ним можно сравнивать решения, исход которых заранее неизвестен.

Случайная величина и её распределение

Случайная величина — величина, значение которой зависит от случая: число очков на кубике, число мальчиков среди трёх детей, выигрыш в лотерее. Мы будем рассматривать дискретные величины, принимающие конечное число значений.

Распределение случайной величины — таблица, где перечислены её значения и их вероятности:

Сумма вероятностей всегда равна 1: $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$. Это удобная проверка.

Как построить распределение

Монету бросают дважды. $X$ — число выпавших орлов. Постройте распределение.

1. Равновозможные исходы: ОО, ОР, РО, РР.
2. $X = 0$ — один исход (РР), $X = 1$ — два исхода (ОР, РО), $X = 2$ — один (ОО).

3. Проверка: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$. Ожидание: $0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = 1$ орёл.

Математическое ожидание

Математическое ожидание — сумма произведений значений на их вероятности:

$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n.$

Смысл: если повторять опыт много раз, среднее арифметическое полученных значений будет близко к $E(X)$. Это «центр тяжести» распределения.

Разобранный пример 1

Найдите математическое ожидание числа очков на кубике.

$E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.$

Заметьте: ожидание не обязано быть возможным значением — выпасть 3,5 очка не может.

Разобранный пример 2 (лотерея)

Выпущено 1000 билетов по 50 рублей. Один выигрыш 10 000 рублей и десять выигрышей по 1000 рублей. Выгодно ли покупать билет?

1. Распределение выигрыша: $10\,000$ с вероятностью $0{,}001$, $1000$ с вероятностью $0{,}01$, $0$ — с остальной вероятностью.
2. $E = 10\,000 \cdot 0{,}001 + 1000 \cdot 0{,}01 = 10 + 10 = 20$ рублей.
3. Билет стоит 50 рублей, поэтому в среднем покупатель теряет 30 рублей. Организатор лотереи всегда в выигрыше.

Разобранный пример 3 (угадывание)

В тесте 4 варианта ответа. За верный ответ +1 балл, за неверный −1/3 балла. Сколько в среднем даёт угадывание?

$E = 1 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$. Штраф подобран так, чтобы угадывание в среднем ничего не давало.

Свойства математического ожидания

• $E(c) = c$ для постоянной $c$;
• $E(aX + b) = a E(X) + b$;
• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ — для любых случайных величин.

Последнее свойство очень удобно. Сумма очков на двух кубиках: $E = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$, и не нужно строить таблицу из 36 исходов.

Дисперсия и стандартное отклонение

Ожидание показывает центр, а дисперсия — насколько значения разбросаны вокруг него:

$D(X) = (x_1 - E)^2 p_1 + \ldots + (x_n - E)^2 p_n = E(X^2) - E(X)^2.$

Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{D(X)}$ измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Разобранный пример 4

$X$ принимает значения 0 и 10 с вероятностями по $\frac{1}{2}$, а $Y$ всегда равна 5. Сравните.

$E(X) = E(Y) = 5$. Но $D(Y) = 0$, а $D(X) = 25 \cdot \frac{1}{2} + 25 \cdot \frac{1}{2} = 25$, $\sigma = 5$. Ожидания одинаковы, а риск совершенно разный. Именно поэтому в финансах смотрят не только на средний доход, но и на его разброс.

Страхование

Страховая компания продаёт полис за 3000 рублей. С вероятностью 0,01 случается авария, и компания выплачивает 200 000 рублей. Ожидаемая выплата по одному полису: $200\,000 \cdot 0{,}01 = 2000$ рублей, поэтому в среднем компания зарабатывает 1000 рублей с полиса. Клиенту полис в среднем невыгоден, но он платит за защиту от редкого, зато разорительного убытка, то есть за уменьшение разброса своих расходов.

Немного истории

Понятие ожидания появилось в XVII веке при решении «задачи о разделе ставки»: как честно поделить деньги, если игру прервали. Её обсуждали в переписке Блез Паскаль и Пьер Ферма, а Христиан Гюйгенс в 1657 году написал первую книгу по теории вероятностей, где ввёл «ценность ожидания».

Типичные ошибки

• Забывать проверять, что сумма вероятностей равна 1.
• Путать математическое ожидание с самым вероятным значением.
• Считать, что ожидание обязательно равно одному из значений.
• Считать дисперсию без возведения отклонений в квадрат.
• Думать, что высокое ожидание означает отсутствие риска.

Что дальше

• Схема Бернулли. Биномиальное распределение — число успехов в серии испытаний: биномиальное распределение.
• Случайные величины и распределения — случайные величины в 10 классе.