Теорема Безу и схема Горнера

Зачем это нужно

Деление многочлена «уголком» надёжно, но громоздко: много записей, легко ошибиться в знаках. Когда делитель имеет вид $x - a$, есть гораздо более быстрый способ — схема Горнера. Она за несколько секунд даёт и частное, и остаток, то есть значение $P(a)$ по теореме Безу. Поэтому схема Горнера — главный инструмент при решении уравнений высших степеней: перебираем кандидатов в корни, находим корень и сразу понижаем степень. Тот же алгоритм используют компьютеры, вычисляя значения многочленов за минимальное число операций.

Идея схемы Горнера

Запишем многочлен «вложенными скобками»:

$a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0.$

Чтобы вычислить значение при $x = a$, достаточно последовательно «умножать на $a$ и прибавлять следующий коэффициент». Для многочлена степени $n$ нужно всего $n$ умножений вместо примерно $\frac{n^2}{2}$ при прямом счёте. Промежуточные результаты оказываются коэффициентами частного от деления на $x - a$, а последний результат — остатком, то есть $P(a)$.

Таблица Горнера

Алгоритм:

1. Выпишите все коэффициенты по убыванию степеней, включая нули.
2. Первый коэффициент снесите вниз.
3. Каждое следующее число нижней строки: предыдущее нижнее $\times a$ + верхнее над ним.
4. Последнее число — остаток $P(a)$, остальные — коэффициенты частного (степень на 1 меньше).

Разобранный пример 1

Вычислите $P(3)$ для $P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x - 7$.

Коэффициенты: 2, −3, 0, 1, −7. Нижняя строка: $2$; $2 \cdot 3 - 3 = 3$; $3 \cdot 3 + 0 = 9$; $9 \cdot 3 + 1 = 28$; $28 \cdot 3 - 7 = 77$. Ответ: $P(3) = 77$. Проверка напрямую: $162 - 81 + 3 - 7 = 77$.

Разобранный пример 2

Разделите $x^4 - 5x^2 + 4$ на $x - 2$.

Коэффициенты 1, 0, −5, 0, 4 (нули обязательны!). Нижняя строка: 1, 2, −1, −2, 0. Частное $x^3 + 2x^2 - x - 2$, остаток 0.

Уравнения высших степеней

План: выписать делители свободного члена → проверять их схемой Горнера → найдя корень, перейти к частному → повторять, пока не останется квадратное уравнение.

Как сократить перебор. Делителей свободного члена бывает много. Полезно сначала проверить самые простые кандидаты $\pm 1$: $P(1)$ равно сумме коэффициентов, а $P(-1)$ — сумме коэффициентов при чётных степенях минус сумма при нечётных. Если все коэффициенты положительны, положительных корней нет, и можно проверять только отрицательные числа. А если $P(a)$ и $P(b)$ разных знаков, то между $a$ и $b$ есть корень: это помогает понять, где искать.

Разобранный пример 3

Решите $x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12 = 0$.

1. Делители 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
2. $a = -1$: строка 1, −3, −4, 12, 0 — корень. Частное $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.
3. $a = 2$: строка 1, −1, −6, 0 — корень. Частное $x^2 - x - 6$.
4. $x^2 - x - 6 = 0$: $x = 3$ или $x = -2$.

Ответ: $-2; -1; 2; 3$.

Разобранный пример 5 (дробный корень)

Решите $2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$.

1. Кандидаты: $\pm 1, \pm\frac{1}{2}$. Проверим $a = \frac{1}{2}$: строка 2, 0, −2, 0.
2. Частное $2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1)$, его корни $\pm 1$.
3. Ответ: $-1; \frac{1}{2}; 1$.

Схема Горнера одинаково хорошо работает и с целыми, и с дробными $a$.

Задачи с параметрами

Разобранный пример 6

При каких $a$ и $b$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx - 6$ делится на $(x - 1)(x - 2)$?

1. По теореме Безу $P(1) = 0$ и $P(2) = 0$: $1 + a + b - 6 = 0$ и $8 + 4a + 2b - 6 = 0$.
2. Система: $a + b = 5$, $2a + b = -1$, откуда $a = -6$, $b = 11$.
3. Получился многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.

Кратные корни

Если после деления на $x - a$ частное снова делится на $x - a$, корень $a$ кратный.

Разобранный пример 4

Найдите кратность корня 1 у $x^3 - 3x + 2$.

Первое деление: 1, 1, −2, 0. Второе (частного $x^2 + x - 2$ на $x - 1$): 1, 2, 0. Третье ($x + 2$ на $x - 1$) даёт остаток 3. Значит, $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$, и корень 1 — двукратный. На графике в такой точке кривая касается оси $x$, а не пересекает её.

Немного истории

Схему назвали в честь английского математика Уильяма Горнера, опубликовавшего её в 1819 году. Но тот же приём за 600 лет до него описал китайский математик Цинь Цзюшао, а ещё раньше подобные вычисления встречались в «Математике в девяти книгах». Сегодня это стандартный алгоритм вычисления многочленов во всех языках программирования.

Типичные ошибки

• Пропускать нулевые коэффициенты.
• Брать $a$ с неверным знаком: при делении на $x + 3$ нужно $a = -3$.
• Забывать, что степень частного на единицу меньше.
• Искать корни среди делителей старшего коэффициента.
• Не проверять кратность найденного корня.

Что дальше

• Корни многочленов и симметрические выражения — корни многочленов и симметрические выражения.
• Биномиальная формула и комбинаторные коэффициенты — бином Ньютона.