Координатная плоскость

Зачем это нужно

Как объяснить другу, где на карте назначена встреча? Как в игре «Морской бой» назвать клетку? Как компьютер знает, где на экране нарисовать букву? Во всех случаях положение точки задают двумя числами — координатами. Шахматная доска (e4), карта (широта и долгота), экран (пиксели) — всё это системы координат.

Координатная плоскость — один из величайших инструментов математики. Она соединила геометрию с алгеброй: фигуры можно описывать уравнениями, а зависимости между величинами — рисовать графиками. С 7 класса графики функций станут постоянной частью уроков алгебры.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными: $a \perp b$. Строят их угольником.

Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называют параллельными: $a \parallel b$. Строят их угольником и линейкой: две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей, параллельны.

Координатная плоскость

Проведём две перпендикулярные координатные прямые с общим началом $O$:

• горизонтальная — ось абсцисс ($Ox$), положительное направление вправо;
• вертикальная — ось ординат ($Oy$), положительное направление вверх.

Точка $O$ — начало координат. Плоскость с такими осями называют координатной плоскостью.

Координаты точки

Чтобы найти координаты точки $A$:

1. Опустите перпендикуляр из $A$ на ось $Ox$ — получите абсциссу $x$.
2. Опустите перпендикуляр на ось $Oy$ — получите ординату $y$.
3. Запишите $A(x; y)$ — сначала абсцисса, потом ордината.

Для точки $A$ на рисунке: $A(3; 2)$ — на 3 вправо и на 2 вверх от начала.

Как построить точку по координатам, например $C(-2; -3)$: от начала идём на 2 влево (абсцисса отрицательная), затем на 3 вниз (ордината отрицательная).

Особые случаи:

• точки на оси $Ox$ имеют ординату 0: $(5; 0)$;
• точки на оси $Oy$ имеют абсциссу 0: $(0; -2)$;
• начало координат — $O(0; 0)$.

Координатные четверти

Оси делят плоскость на четыре четверти (нумерация — против часовой стрелки):

Разобранный пример 1

В какой четверти лежит точка $M(-7; 0{,}5)$? А $N(0; -4)$?

1. У $M$ абсцисса отрицательная, ордината положительная — II четверть.
2. У $N$ абсцисса равна 0 — точка лежит на оси $Oy$, ни в какой четверти.

Фигуры на координатной плоскости

Разобранный пример 2

Постройте прямоугольник с вершинами $A(-3; 2)$, $B(4; 2)$, $C(4; -1)$, $D(-3; -1)$ и найдите его площадь.

1. Отметим точки и соединим по порядку.
2. Сторона $AB$ горизонтальная (ординаты равны): длина $4 - (-3) = 7$ клеток.
3. Сторона $BC$ вертикальная (абсциссы равны): длина $2 - (-1) = 3$ клетки.
4. Площадь: $7 \cdot 3 = 21$ (единичных квадратов).

Ответ: 21.

Полезное наблюдение: если у двух точек одинаковые ординаты, отрезок между ними параллелен оси $Ox$, а его длина — разность абсцисс. Если одинаковые абсциссы — отрезок параллелен оси $Oy$.

Симметрия

Точки $(a; b)$ и $(a; -b)$ симметричны относительно оси $Ox$; точки $(a; b)$ и $(-a; b)$ — относительно оси $Oy$; $(a; b)$ и $(-a; -b)$ — относительно начала координат.

История вопроса

Метод координат связывают с именем французского философа и математика Рене Декарта (XVII век), поэтому систему координат часто называют декартовой. Почти одновременно с ним к той же идее пришёл Пьер Ферма. Их открытие позволило решать геометрические задачи алгеброй и стало основой аналитической геометрии.

Координаты вокруг нас

• Шахматы: клетка e4 — это «абсцисса» e и «ордината» 4.
• География: положение точки на Земле задают широтой и долготой — это координаты на сфере.
• Экран компьютера: каждая точка изображения — пиксель с координатами по горизонтали и вертикали (только ось $y$ там часто направлена вниз).
• Кинотеатр: ряд и место в билете — тоже пара чисел, где важен порядок.

Во всех примерах, как и на координатной плоскости, важно знать порядок чисел и точку отсчёта.

Типичные ошибки

• Путать порядок координат: $(2; 3)$ и $(3; 2)$ — разные точки. Сначала $x$, потом $y$.
• Отсчитывать абсциссу по вертикали, а ординату по горизонтали.
• Считать, что точка на оси лежит в какой-то четверти.
• Неверно находить длину отрезка с отрицательными координатами: от −3 до 4 — это 7, а не 1.
• Нумеровать четверти по часовой стрелке.

Что дальше

• Столбчатые диаграммы и графики — на координатной плоскости строят графики зависимостей.
• Понятие функции — в 7 классе график станет способом задавать функцию.
• Метод координат — метод координат в геометрии: расстояние между точками, уравнения прямой и окружности.