Текстовые задачи с помощью уравнений

Зачем это нужно

Арифметический способ решения задач хорош, пока задача простая. Но как быть, если в задаче три участника, связанных хитрыми условиями? Алгебраический способ предлагает универсальный рецепт: обозначь неизвестное буквой, переведи условие на язык уравнения и реши его.

Такой подход называют построением математической модели: реальную ситуацию заменяют уравнением, решают его и возвращаются к ситуации. Им пользуются инженеры, экономисты, учёные. А на ОГЭ и ЕГЭ текстовые задачи — обязательная часть, и решаются они почти всегда уравнениями.

Три этапа решения

1. Составление модели. Выбрать неизвестное, обозначить его буквой, выразить через неё остальные величины, составить уравнение.
2. Работа с моделью. Решить уравнение.
3. Ответ на вопрос задачи. Проверить, подходит ли найденное значение по смыслу (целое ли, положительное ли), и ответить именно на тот вопрос, который задан.

Совет: за $x$ удобно брать меньшую величину или ту, через которую проще выразить остальные. Полезно оформлять условие таблицей.

Задачи на части и сравнение

Разобранный пример 1

В трёх классах 87 учеников. Во втором на 3 ученика больше, чем в первом, а в третьем — на 6 меньше, чем во втором. Сколько учеников в каждом классе?

1. Пусть в первом классе $x$ учеников. Во втором $x + 3$, в третьем $(x + 3) - 6 = x - 3$.
2. Уравнение: $x + (x + 3) + (x - 3) = 87$, $3x = 87$, $x = 29$.
3. Во втором — 32, в третьем — 26.
4. Проверка: $29 + 32 + 26 = 87$; $32 - 29 = 3$; $32 - 26 = 6$. Все условия выполнены.

Ответ: 29, 32 и 26 учеников.

Задачи на движение

Основа — формула $s = vt$. Удобно составить таблицу: участник, скорость, время, расстояние.

Разобранный пример 2

Из двух сёл, расстояние между которыми 27 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч. Скорость одного на 1 км/ч больше. Найдите скорости.

1. Пусть скорость первого $x$ км/ч, второго $x + 1$ км/ч.
2. За 3 ч они прошли $3x$ и $3(x + 1)$ км, вместе — 27 км.
3. $3x + 3(x + 1) = 27$, $6x + 3 = 27$, $x = 4$.
4. Проверка: $3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27$.

Ответ: 4 км/ч и 5 км/ч.

Задачи на работу

Если работу выполняют с постоянной производительностью, то работа = производительность × время. Это та же формула, что и для движения.

Разобранный пример 3

Мастер изготавливает за час на 4 детали больше, чем ученик. За 3 ч мастер сделал столько же деталей, сколько ученик за 5 ч. Сколько деталей в час делает ученик?

1. Пусть ученик делает $x$ деталей в час, мастер — $x + 4$.
2. $3(x + 4) = 5x$, $3x + 12 = 5x$, $x = 6$.
3. Проверка: мастер — 10 дет./ч, за 3 ч — 30; ученик за 5 ч — 30.

Ответ: 6 деталей в час.

Задачи на проценты и сплавы

Разобранный пример 4

После снижения цены на 20 % товар стал стоить 960 рублей. Какой была исходная цена?

1. Пусть исходная цена $x$. После снижения осталось 80 %: $0{,}8x = 960$.
2. $x = 1\,200$.
3. Проверка: 20 % от 1 200 — 240; $1\,200 - 240 = 960$.

Ответ: 1 200 рублей.

Разобранный пример 5 (смесь)

Сколько граммов воды нужно добавить к 200 г 15-процентного раствора соли, чтобы получить 10-процентный?

1. Соли в растворе: $200 \cdot 0{,}15 = 30$ г — при добавлении воды её количество не меняется.
2. Пусть добавили $x$ г воды. Масса нового раствора $200 + x$, соли в нём 10 %: $0{,}1(200 + x) = 30$.
3. $200 + x = 300$, $x = 100$.

Ответ: 100 г.

Типичные ошибки

• Не указывать, что обозначено буквой, — потом легко перепутать величины.
• Составлять уравнение с величинами в разных единицах (минуты и часы, граммы и килограммы).
• Отвечать не на тот вопрос: найти $x$ (скорость ученика), а спрашивали о мастере.
• Не проверять, подходит ли ответ по смыслу: «2,5 ученика» или отрицательная скорость означают ошибку.
• В задачах на проценты брать процент не от той величины.

Что дальше

Задачи, где неизвестных два, удобнее решать системами уравнений — об этом тема Системы линейных уравнений с двумя переменными. А навыки из задач на движение (Задачи на движение) и пропорциональность (Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб) здесь соединяются с алгеброй.