Степень с целым показателем. Стандартный вид числа

Зачем это нужно

Масса Земли — около 5 970 000 000 000 000 000 000 000 кг, а масса электрона — 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 кг. Записывать и читать такие числа неудобно, легко ошибиться в количестве нулей. Учёные пишут их компактно: $5{,}97 \cdot 10^{24}$ кг и $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ кг. Для этого нужна степень с отрицательным показателем и стандартный вид числа. Эта запись используется в физике, химии, астрономии, биологии, информатике и на экране любого научного калькулятора.

Степень с нулевым и отрицательным показателем

Посмотрим на последовательность степеней двойки: $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$. При уменьшении показателя на 1 значение делится на 2. Продолжая закономерность: $2^0 = 1$, $2^{-1} = \frac{1}{2}$, $2^{-2} = \frac{1}{4}$, …

Определения. Для $a \ne 0$ и натурального $n$:

$a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$

Примеры: $5^{-2} = \frac{1}{25}$, $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$, $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$, $(-4)^{-1} = -\frac{1}{4}$.

Выражения $0^0$ и $0^{-n}$ не определены (на нуль делить нельзя).

Отрицательный показатель не делает число отрицательным! $2^{-3} = \frac{1}{8} > 0$.

Свойства степени с целым показателем

Для $a \ne 0$, $b \ne 0$ и любых целых $m$, $n$ выполняются те же свойства, что и для натуральных показателей:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}, \qquad a^m : a^n = a^{m - n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn},$

$(ab)^n = a^n b^n, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.$

Теперь деление степеней работает всегда: $a^2 : a^5 = a^{-3}$, и не нужно отдельно разбирать случай, когда показатель делимого меньше.

Разобранный пример 1

Вычислите: а) $2^{-5} \cdot 2^8$; б) $\dfrac{3^{-4}}{3^{-6}}$; в) $(5^{-2})^{-1} \cdot 5^{-3}$.

1. а) $2^{3} = 8$.
2. б) $3^{-4 - (-6)} = 3^2 = 9$.
3. в) $5^{2} \cdot 5^{-3} = 5^{-1} = 0{,}2$.

Разобранный пример 2

Упростите $\dfrac{a^{-3} b^{4}}{a^{2} b^{-1}}$.

$a^{-3 - 2} b^{4 - (-1)} = a^{-5} b^{5} = \dfrac{b^5}{a^5}$.

Стандартный вид числа

Стандартным видом положительного числа называют запись

$a \cdot 10^n, \qquad 1 \le a < 10, \quad n \text{ — целое}.$

Число $n$ называют порядком числа. Порядок показывает, «на каком этаже» шкалы величин находится число.

Как записать число в стандартном виде: перенесите запятую так, чтобы перед ней осталась одна ненулевая цифра; посчитайте, на сколько знаков она сдвинулась. Сдвиг влево — порядок положительный, вправо — отрицательный.

• $340\,000 = 3{,}4 \cdot 10^5$ (запятая сдвинулась на 5 знаков влево);
• $0{,}00072 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}$ (на 4 знака вправо);
• $6{,}5 = 6{,}5 \cdot 10^0$.

Разобранный пример 3

Скорость света $3 \cdot 10^8$ м/с, расстояние от Солнца до Земли $1{,}5 \cdot 10^{11}$ м. За какое время свет доходит до Земли?

$t = \dfrac{1{,}5 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^8} = 0{,}5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^2 = 500$ с — чуть больше 8 минут.

Разобранный пример 4

Найдите произведение $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (6 \cdot 10^{5})$ и запишите в стандартном виде.

$24 \cdot 10^{2} = 2{,}4 \cdot 10^{3}$. Если коэффициент получился $\ge 10$, его тоже приводят к стандартному виду.

Стандартный вид в калькуляторах и компьютерах

На экране калькулятора или в электронной таблице очень большие и очень малые числа показываются в экспоненциальной записи: вместо $3{,}4 \cdot 10^{5}$ пишут 3.4E5 или 3,4E+05, а вместо $7{,}2 \cdot 10^{-4}$ — 7.2E-4. Буква E (от англ. exponent) означает «умножить на 10 в степени». Если калькулятор показал 1.5E-3, это $0{,}0015$, а не «полтора минус три».

Сравнение чисел в стандартном виде

Чтобы сравнить два положительных числа в стандартном виде, сначала сравните порядки: чем больше порядок, тем больше число. Только при одинаковых порядках сравнивают коэффициенты. Например, $9{,}9 \cdot 10^{3} < 1{,}1 \cdot 10^{4}$, хотя $9{,}9 > 1{,}1$. Порядок числа быстро даёт представление о его величине: число с порядком 6 — «миллионы», с порядком $-3$ — «тысячные».

История вопроса

Ещё Архимед в сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок») придумал способ называть огромные числа, чтобы оценить, сколько песчинок поместится во Вселенной, — у него получилось около $10^{63}$. Отрицательные и нулевой показатели степени впервые встречаются у французского математика Никола Шюке в 1484 году. Современную запись степеней с целыми показателями ввёл Исаак Ньютон, а стандартный вид чисел стал общепринятым в науке в XX веке.

Приставки СИ и степени десяти

Типичные ошибки

• Считать, что $a^{-n}$ — отрицательное число: $3^{-2} = \frac{1}{9}$, а не $-9$.
• Писать $a^0 = 0$: на самом деле $a^0 = 1$ при $a \ne 0$.
• Ошибаться в знаке при вычитании показателей: $a^{3} : a^{-2} = a^{5}$, а не $a^{1}$.
• Записывать $35 \cdot 10^4$ как стандартный вид: коэффициент должен быть от 1 до 10, правильно $3{,}5 \cdot 10^5$.
• Путать направление сдвига запятой для малых чисел.

Что дальше

• Геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия: степени с целым показателем в формулах.
• Основы молекулярно-кинетической теории — размеры и массы молекул записывают в стандартном виде.
• Схема Бернулли. Биномиальное распределение — формула Бернулли содержит степени вероятностей.