Скалярное произведение векторов

Зачем это нужно

Как найти угол между двумя направлениями, зная координаты? Как проверить, перпендикулярны ли прямые? Какую работу совершает сила, приложенная под углом к перемещению? На все эти вопросы отвечает скалярное произведение — операция, которая по двум векторам даёт число. Это мощный инструмент для вычисления углов и длин, доказательства перпендикулярности, а в физике — для работы силы, мощности, потока. В ЕГЭ координатно-векторный метод с скалярным произведением позволяет решать стереометрические задачи «в лоб».

Угол между векторами

Угол между ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — угол между лучами, на которых лежат эти векторы, если отложить их от одной точки. Он принимает значения от $0^\circ$ до $180^\circ$.

• Векторы сонаправлены — угол $0^\circ$;
• противоположно направлены — $180^\circ$;
• перпендикулярны — $90^\circ$.

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их длин на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi.$

Результат — число, а не вектор (отсюда название: «скаляр» — число).

Знак скалярного произведения показывает вид угла:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ — угол острый;
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ — векторы перпендикулярны;
• $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ — угол тупой.

Скалярный квадрат: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Разобранный пример 1

$|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$, угол между ними $120^\circ$. Найдите $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

$4 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -10$.

Скалярное произведение в координатах

Если $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2.$

Отсюда:

• условие перпендикулярности: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$;
• косинус угла: $\cos \varphi = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.

Разобранный пример 2

Найдите угол между векторами $\vec{a}\{1; 2\}$ и $\vec{b}\{3; 1\}$.

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 2 = 5$.
2. $|\vec{a}| = \sqrt{5}$, $|\vec{b}| = \sqrt{10}$.
3. $\cos \varphi = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\varphi = 45^\circ$.

Разобранный пример 3

При каком $m$ векторы $\vec{a}\{2; m\}$ и $\vec{b}\{3; -6\}$ перпендикулярны?

$6 - 6m = 0$, $m = 1$.

Свойства

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (переместительное).
2. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ (распределительное).
3. $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

С их помощью раскрывают скобки, как с числами: $(\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$.

Разобранный пример 4

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, угол $60^\circ$. Найдите $|\vec{a} + \vec{b}|$.

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 = 19$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}$. Это та же теорема косинусов, записанная векторно.

Физический смысл: работа силы

Работа постоянной силы $\vec{F}$ при перемещении $\vec{s}$:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos \varphi.$

Если сила перпендикулярна перемещению, работа равна нулю; если направлена против — отрицательна. Так объясняется то, что мы обсуждали в 7 классе.

Как применять скалярное произведение в задачах

Скалярное произведение особенно удобно, когда нужно:

1. доказать перпендикулярность — показать, что скалярное произведение равно нулю;
2. найти угол — через формулу косинуса;
3. найти длину — через скалярный квадрат: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.

Разобранный пример 5

В треугольнике $A(0; 0)$, $B(4; 0)$, $C(1; 3)$ найдите угол $A$.

1. $\overrightarrow{AB}\{4; 0\}$, $\overrightarrow{AC}\{1; 3\}$.
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4$, $|\overrightarrow{AB}| = 4$, $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10}$.
3. $\cos A = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}316$, $A \approx 71{,}6^\circ$.

Важно брать векторы, выходящие из вершины угла: для угла $A$ — $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, а не $\overrightarrow{BA}$.

Разобранный пример 6

Докажите, что треугольник с вершинами $A(1; 1)$, $B(4; 5)$, $C(5; -2)$ прямоугольный.

1. $\overrightarrow{AB}\{3; 4\}$, $\overrightarrow{AC}\{4; -3\}$.
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12 - 12 = 0$, значит, $AB \perp AC$ и угол $A$ прямой.
3. Заодно $AB = AC = 5$: треугольник ещё и равнобедренный, а его острые углы равны по $45^\circ$.

Проекция вектора

Число $|\vec{b}| \cos \varphi$ называют проекцией вектора $\vec{b}$ на направление вектора $\vec{a}$ (со знаком). Поэтому скалярное произведение — это длина одного вектора, умноженная на проекцию другого на его направление. Так, работа силы равна произведению пути на ту составляющую силы, которая направлена вдоль пути; перпендикулярная составляющая работы не совершает.

История вопроса

Скалярное произведение появилось в физике XIX века как удобная запись работы силы. Понятие и обозначение закрепились в трудах Германа Грассмана и Уильяма Гамильтона, а затем — в векторном анализе Джозайи Гиббса. Сегодня скалярное произведение используется даже в машинном обучении: «похожесть» двух текстов или картинок вычисляют как косинус угла между их векторами-признаками.

Типичные ошибки

• Считать скалярное произведение вектором: это число, у него нет направления.
• Забывать, что $\cos$ тупого угла отрицателен, и получать положительное произведение там, где угол тупой.
• Путать условие перпендикулярности ($x_1x_2 + y_1y_2 = 0$) и коллинеарности ($\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$).
• Писать $\vec{a}^2 = |\vec{a}|$ вместо $|\vec{a}|^2$.
• Брать угол между векторами, не отложив их от одной точки (например, угол $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ в треугольнике — это внешний угол при $B$).

Что дальше

• Векторы в пространстве — векторы в пространстве.
• Векторный метод в планиметрии — векторный метод решения задач.
• Законы Ньютона в векторной форме — законы Ньютона в векторной форме.