Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников

Зачем это нужно

Как найти расстояние до недоступной точки — вершины горы, корабля в море, другого берега реки? Как вычислить сторону треугольного участка, если известны две стороны и угол между ними? Теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике, а теоремы синусов и косинусов — в любом. Они позволяют по трём известным элементам треугольника найти остальные — решить треугольник. Эти теоремы используют геодезисты, штурманы, артиллеристы, астрономы и инженеры; в ОГЭ и ЕГЭ они встречаются постоянно.

Синус и косинус углов от 0° до 180°

Рассмотрим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат (единичная полуокружность). Отложим от положительного луча оси $x$ угол $\alpha$ ; его сторона пересечёт полуокружность в точке $M(x; y)$ . Тогда

$\sin \alpha = y, \qquad \cos \alpha = x, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$

Единичная полуокружность; точка M на ней задаёт угол α с осью x; абсцисса точки — cos α, ордината — sin α; для тупого угла косинус отрицателен

Для острых углов это совпадает с определением через прямоугольный треугольник. Новые свойства:

$\sin \alpha \ge 0$ для всех углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ ; $\cos \alpha < 0$ для тупых углов;
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ ;
формулы приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ , $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ .

$\alpha$	$0^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$\sin \alpha$	$0$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$

Площадь треугольника через синус

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} ab \sin C.$

Разобранный пример 1

Стороны треугольника 8 и 10, угол между ними $150^\circ$ . Найдите площадь.

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 150^\circ = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ .

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$

где $R$ — радиус описанной окружности.

Разобранный пример 2

В треугольнике $\angle A = 45^\circ$ , $\angle B = 60^\circ$ , $BC = 6\sqrt{2}$ . Найдите $AC$ .

$\frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}$ , откуда $AC = \frac{6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{3}$ .

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.$

При $C = 90^\circ$ получаем теорему Пифагора — теорема косинусов её обобщает. По знаку $\cos C$ можно определить вид угла: если $c^2 > a^2 + b^2$ , угол $C$ тупой.

Разобранный пример 3

Стороны треугольника 5 и 8, угол между ними $60^\circ$ . Найдите третью сторону.

$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $c = 7$ .

Разобранный пример 4

Стороны треугольника 3, 5 и 7. Найдите наибольший угол.

$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = -\frac{1}{2}$ , $C = 120^\circ$ .

Решение треугольников

Известно	Что применять
две стороны и угол между ними	теорема косинусов → третья сторона
три стороны	теорема косинусов → углы
сторона и два угла	сумма углов → третий угол; теорема синусов → стороны
две стороны и угол против одной из них	теорема синусов (может быть два решения!)

Измерительные работы

Расстояние до недоступной точки. Нужно узнать расстояние от точки $A$ на берегу до дерева $C$ на другом берегу. Отмерим на своём берегу базу $AB = 100$ м и измерим угломером углы $\angle A = 70^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$ . Тогда $\angle C = 50^\circ$ , и по теореме синусов

$AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{100 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} \approx \frac{86{,}6}{0{,}766} \approx 113 \text{ м}.$

Именно так — методом триангуляции — в XVIII–XIX веках составляли точные карты целых стран.

Высота недоступного предмета. Чтобы найти высоту башни, основание которой недоступно, измеряют углы подъёма на её вершину из двух точек на одной прямой и расстояние между этими точками; затем дважды применяют теорему синусов.

Доказательство теоремы косинусов (идея)

Опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ (или её продолжение). Тогда $AH = c \cos A$ , $BH = c \sin A$ , $HC = b - c \cos A$ . По теореме Пифагора в треугольнике $BHC$ :

$a^2 = (c \sin A)^2 + (b - c \cos A)^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A,$

где использовано $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ . Красиво, что одна формула охватывает и острые, и тупые углы.

История вопроса

Теорему косинусов для частных случаев (тупоугольный и остроугольный треугольники) доказал ещё Евклид в «Началах» — в геометрической форме, без слова «косинус». Теорему синусов знали средневековые математики Востока; её сформулировал ас-Туси в XIII веке. Современный вид обеим теоремам придали европейские математики XVI–XVIII веков, в том числе Франсуа Виет и Леонард Эйлер.

Типичные ошибки

Забывать, что косинус тупого угла отрицателен, и неверно вычислять сторону.
В теореме косинусов брать угол, не лежащий между данными сторонами.
В теореме синусов ставить в пару сторону и не противолежащий ей угол.
Считать $\sin 120^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ : синус тупого угла положителен.
Терять второе решение в случае «две стороны и угол против одной из них».

Что дальше

Скалярное произведение векторов — скалярное произведение и угол между векторами.
Радианная мера. Синус, косинус, тангенс числа — синус и косинус любого числа, радианная мера.