Десяток. Числа от 11 до 20

Зачем это нужно

Считать предметы по одному неудобно, когда их много. Люди давно придумали группировать их по десять: десять пальцев на руках, десять яиц в лотке, десять копеек в монете. Группа из десяти единиц называется десятком.

С десятка начинается наша система записи чисел: на ней основаны числа до 100, до 1000 и дальше. В этой теме мы научимся видеть в числе десяток и единицы — и тогда числа до 20 станут такими же понятными, как числа до 10.

Что такое десяток

Возьмём 10 палочек и свяжем их резинкой. Получился пучок — это один десяток. Теперь его можно считать как одну большую единицу:

$10 \text{ единиц} = 1 \text{ десяток}.$

Удобство в том, что не нужно каждый раз пересчитывать десять палочек: взглянули на пучок — и сразу знаете, что их там десять.

Как образуются числа от 11 до 20

К десятку будем добавлять по одной палочке:

Подсказку даёт само название: «один-на-дцать» — это «один на десяти», то есть одна единица сверх десятка; «пят-на-дцать» — пять на десяти. А «два-дцать» — «два десятка».

Как записываются двузначные числа

Числа от 10 до 20 записываются двумя цифрами — это двузначные числа. Каждая цифра стоит на своём месте, и место это называется разрядом:

• цифра слева показывает, сколько десятков;
• цифра справа показывает, сколько единиц.

В числе 17: цифра 1 — один десяток, цифра 7 — семь единиц. Значит, $17 = 10 + 7$.

В числе 20: цифра 2 — два десятка, цифра 0 — ни одной отдельной единицы. Нуль здесь очень важен: без него число превратилось бы в 2.

Сравните два похожих числа: в числе 12 один десяток и две единицы, а в числе 21 — два десятка и одна единица. Цифры одинаковые, а числа разные, потому что цифры стоят в разных разрядах.

Десятичный состав числа

Любое число от 11 до 19 можно записать как сумму десятка и единиц:

$14 = 10 + 4,\qquad 18 = 10 + 8,\qquad 11 = 10 + 1.$

Из этого сразу следуют быстрые вычисления без счёта по одному:

• $10 + 6 = 16$ — к десятку добавили 6 единиц;
• $15 - 5 = 10$ — убрали все единицы, остался десяток;
• $17 - 10 = 7$ — убрали десяток, остались единицы.

А ещё прибавлять и вычитать единицы внутри десятка можно так же, как в пределах 10: $13 + 4 = 17$, потому что $3 + 4 = 7$, а десяток остаётся на месте. Аналогично $16 - 2 = 14$, потому что $6 - 2 = 4$.

Разобранный пример 1

Задача. Вычислите $12 + 5$.

1. Разложим 12 на десяток и единицы: $12 = 10 + 2$.
2. Сложим единицы: $2 + 5 = 7$.
3. Добавим десяток: $10 + 7 = 17$.
4. Проверка вычитанием: $17 - 5 = 12$. Верно.

Ответ: 17.

Разобранный пример 2

Задача. В коробке 19 карандашей. Из них 10 цветных, остальные простые. Сколько простых карандашей?

1. $19 = 10 + 9$: в числе 19 один десяток и 9 единиц.
2. Если убрать 10 цветных, останутся 9 простых: $19 - 10 = 9$.

Ответ: 9 простых карандашей.

Числовой ряд до 20 и сравнение чисел

Числа второго десятка продолжают числовой ряд: после 10 идут 11, 12, …, 19, 20. Каждое следующее, как и раньше, на один больше предыдущего: после 15 идёт 16, перед 15 стоит 14.

Сравнивать двузначные числа удобно по разрядам:

1. Сначала сравниваем десятки. У кого их больше, то число и больше: $20 > 19$.
2. Если десятков поровну, сравниваем единицы: $16 > 13$, потому что $6 > 3$.

Любое число второго десятка больше любого однозначного: $11 > 9$, хоть цифра 1 и меньше 9. Причина в том, что в 11 есть целый десяток.

Типичные ошибки

• Записывать «одиннадцать» как 101 или «пятнадцать» как 105. Десяток пишется одной цифрой 1 в разряде десятков: $15$, а не $105$.
• Путать 12 и 21, 13 и 31: важно, в каком разряде стоит цифра.
• Забывать нуль в числе 20 и писать просто 2.
• Сравнивать числа «по первой увиденной цифре»: считать, что $9 > 11$, потому что $9 > 1$. Сначала сравниваем количество разрядов и десятки.
• Пересчитывать по одному там, где достаточно состава: $10 + 7$ — это сразу 17.

Что дальше

• Сложение и вычитание с переходом через десяток — с помощью десятка научимся складывать и вычитать с переходом через десяток: $8 + 5$, $14 - 6$.
• Измерение длины. Сантиметр и дециметр — 10 сантиметров составляют 1 дециметр: десяток пригодится при измерении длины.
• Числа до 100. Разряды — так же, как 20 — это 2 десятка, числа до 100 состоят из десятков и единиц.