Величины и перевод единиц

Зачем это нужно

Рецепт просит 0,5 кг муки, а весы показывают граммы. Дорога до дачи 85 км, а шагомер считает метры. Квартира — 54 м², а плитка продаётся по квадратным сантиметрам. Чтобы не запутаться, нужно уметь переводить одни единицы в другие и выполнять действия с именованными числами — числами с единицами измерения.

В этой теме мы соберём все изученные величины — длину, массу, площадь и время — в одну систему и найдём общий принцип перевода.

Что такое величина

Величина — то, что можно измерить и выразить числом: длина, масса, площадь, время, объём. Результат измерения записывают числом и единицей: 5 км, 3 кг, 12 м², 45 мин. Такие числа называют именованными.

Число без единицы смысла не имеет: «длина 5» — пять чего? Сантиметров или километров?

Длина

Масса

Время

Время — особенная величина: его единицы связаны не через 10, а через 60, 24, 12. Поэтому здесь особенно легко ошибиться.

Площадь: почему не 10, а 100

Вот где чаще всего ошибаются. Сколько квадратных сантиметров в квадратном дециметре? Казалось бы, 10, ведь 1 дм = 10 см. Но нет!

Квадрат со стороной 1 дм — это квадрат 10 см на 10 см. В нём 10 рядов по 10 квадратных сантиметров:

$1 \text{ дм}^2 = 10 \cdot 10 = 100 \text{ см}^2.$

Точно так же:

Правило: если единица длины больше в 10 раз, то единица площади больше в $10 \cdot 10 = 100$ раз.

Как переводить: большие в мелкие и обратно

• Из крупных единиц в мелкие — умножаем (мелких единиц будет больше): $3 \text{ км} = 3 \cdot 1\,000 = 3\,000 \text{ м}$.
• Из мелких в крупные — делим (крупных будет меньше): $5\,000 \text{ г} = 5\,000 : 1\,000 = 5 \text{ кг}$.

Если не делится нацело, получится составное именованное число: $2\,350 \text{ м} = 2 \text{ км } 350 \text{ м}$, $135 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.

Разобранный пример 1

Выразите 4 т 75 кг в килограммах.

1. $4 \text{ т} = 4 \cdot 1\,000 = 4\,000 \text{ кг}$.
2. $4\,000 + 75 = 4\,075 \text{ кг}$.
3. Проверка обратным переводом: $4\,075 : 1\,000 = 4$ (ост. 75) — 4 т 75 кг. Верно.

Ответ: 4 075 кг.

Действия с именованными числами

Складывать, вычитать и сравнивать можно только величины, выраженные в одинаковых единицах. Удобный способ — перевести всё в мелкие единицы, сосчитать, а затем, если нужно, перевести обратно.

Разобранный пример 2

Вычислите: 5 м 20 см − 2 м 85 см.

1. Переводим в сантиметры: $520 \text{ см} - 285 \text{ см}$.
2. $520 - 285 = 235$ см.
3. Обратно: $235 \text{ см} = 2 \text{ м } 35 \text{ см}$.

Ответ: 2 м 35 см.

Разобранный пример 3

Урок длится 45 мин. Сколько длятся 4 урока? Ответ выразите в часах и минутах.

1. $45 \cdot 4 = 180$ мин.
2. $180 : 60 = 3$ ч.

Ответ: 3 ч.

Именованное число можно умножать и делить на обычное число: $2 \text{ кг } 400 \text{ г} \cdot 3 = 2\,400 \text{ г} \cdot 3 = 7\,200 \text{ г} = 7 \text{ кг } 200 \text{ г}$.

Старинные меры

Раньше на Руси пользовались другими единицами: вершок (около 4,4 см), аршин (около 71 см), сажень (около 2 м 13 см), верста (около 1 км 67 м), а массу измеряли пудами (около 16 кг). Неудобство было в том, что эти меры связаны «неровными» числами: в аршине 16 вершков, в сажени 3 аршина. Метрическая система, где всё связано через 10, 100 и 1000, оказалась гораздо проще — поэтому её приняли почти во всём мире.

Типичные ошибки

• Считать, что 1 дм² = 10 см² или 1 м² = 100 см². Для площади множитель — квадрат множителя длины.
• Переводить время «по десяткам»: 1 ч 20 мин = 120 мин. Правильно: $60 + 20 = 80$ мин.
• Складывать числа с разными единицами: $3 \text{ м} + 40 \text{ см} = 43$ — чего?
• Путать направление: из крупных в мелкие — умножать, а не делить.
• Терять нули: 2 км 5 м = 2 005 м, а не 25 м и не 2 050 м.

Что дальше

Эта тема завершает арифметику величин начальной школы. В 5 классе вы встретите объём и кубические единицы (Площадь и объём. Прямоугольный параллелепипед), где множитель станет уже $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000$, а на уроках физики (Физические величины и их измерение) — единицы СИ и приставки «кило», «милли», «санти».