Механика жидкостей и основы аэродинамики

Зачем это нужно

Почему река в узком месте течёт быстрее? Почему многотонный самолёт держится в воздухе? Почему два корабля, идущие рядом, притягиваются друг к другу, а душевая занавеска липнет к ногам? Почему расход бензина на трассе резко растёт со скоростью? На все эти вопросы отвечает гидро- и аэродинамика — механика движущихся жидкостей и газов. Гидростатику (давление, закон Паскаля, сила Архимеда) вы изучали в 7 классе; теперь жидкость приходит в движение.

Модель идеальной жидкости

Реальные жидкости сложны, поэтому начнём с модели идеальной жидкости: она несжимаема (плотность $\rho$ постоянна) и невязка (нет внутреннего трения). Будем рассматривать стационарное течение: в каждой точке скорость со временем не меняется. Траектории частиц называют линиями тока; где линии тока гуще, там скорость больше. Газы при скоростях, много меньших скорости звука, тоже можно считать несжимаемыми — поэтому законы ниже работают и для воздуха вокруг автомобиля или крыла.

Уравнение неразрывности

Жидкость не исчезает и не сжимается, поэтому через любое сечение трубы за одно и то же время проходит одинаковый объём:

$S_1 v_1 = S_2 v_2.$

Где труба уже, там течение быстрее. Это вы видели много раз: зажмите пальцем конец садового шланга — струя бьёт дальше.

Разобранный пример 1

Труба сужается с 4 см² до 1 см². В широкой части вода течёт со скоростью 0,5 м/с. Найдите скорость в узкой части.

$v_2 = v_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 0{,}5 \cdot 4 = 2$ м/с.

Уравнение Бернулли

Применим закон сохранения энергии к маленькому объёму жидкости, движущемуся вдоль линии тока. Работа сил давления идёт на изменение его кинетической и потенциальной энергии. В расчёте на единицу объёма получается уравнение Бернулли:

$p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}.$

Здесь $p$ — статическое давление, $\frac{\rho v^2}{2}$ — динамическое давление, $\rho g h$ — гидростатическое. Для горизонтальной трубы главный вывод: где скорость больше, там давление меньше.

Трубка Вентури: в узкой части скорость воды больше, а давление меньше, поэтому столбик в средней манометрической трубке ниже

Разобранный пример 2

Вода в горизонтальной трубе течёт со скоростью 1 м/с, а в сужении — 3 м/с. Насколько давление в сужении меньше?

$\Delta p = \frac{\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2) = 500 \cdot (9 - 1) = 4000$ Па.

Разобранный пример 3 (формула Торричелли)

Из отверстия в баке, расположенного на 0,8 м ниже уровня воды, вытекает струя. Найдите её скорость.

На поверхности и в струе давление атмосферное, скорость поверхности почти нулевая. Из уравнения Бернулли $\rho g h = \frac{\rho v^2}{2}$ , откуда $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{16} = 4$ м/с — как у камня, упавшего с той же высоты.

Подъёмная сила крыла

Крыло самолёта несимметрично и установлено под небольшим углом атаки. Поток над крылом движется быстрее, чем под ним, поэтому давление сверху меньше. Разность давлений, умноженная на площадь крыла, и есть подъёмная сила. Другой взгляд на то же явление — через импульс: крыло отклоняет поток воздуха вниз, и по третьему закону Ньютона воздух толкает крыло вверх.

Разобранный пример 4

Над крылом воздух обтекает его со скоростью 70 м/с, под крылом — 60 м/с. Плотность воздуха 1,2 кг/м³, площадь крыльев 20 м². Найдите подъёмную силу.

$\Delta p = \frac{1{,}2}{2}(70^2 - 60^2) = 0{,}6 \cdot 1300 = 780$ Па.
$F = \Delta p \cdot S = 780 \cdot 20 = 15\,600$ Н — хватит, чтобы удержать лёгкий самолёт массой около 1,5 т.

Вязкость и сопротивление

Реальные жидкости вязкие: слои трутся друг о друга, и у стенок трубы скорость почти нулевая. Мёд вязкий, вода — мало, воздух — ещё меньше. При малых скоростях течение ламинарное (слоистое, гладкое), при больших — турбулентное, с вихрями. Переход определяет безразмерное число Рейнольдса $Re = \frac{\rho v L}{\eta}$ , где $\eta$ — вязкость, $L$ — размер тела.

На тело, движущееся в воздухе или воде с заметной скоростью, действует сила лобового сопротивления:

$F = C \frac{\rho v^2}{2} S,$

где $S$ — площадь поперечного сечения, $C$ — коэффициент сопротивления, зависящий от формы (около 1 для пластины поперёк потока, около 0,3 для легкового автомобиля, около 0,05 для каплевидного тела). При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна просто $v$ — так тонет пылинка или песчинка в воде.

Разобранный пример 5

Автомобиль ( $C = 0{,}3$ , $S = 2$ м²) едет со скоростью 30 м/с (108 км/ч), $\rho = 1{,}2$ кг/м³. Найдите силу сопротивления воздуха и мощность на её преодоление.

$F = 0{,}3 \cdot \frac{1{,}2 \cdot 900}{2} \cdot 2 = 324$ Н.
$P = Fv = 324 \cdot 30 \approx 9{,}7$ кВт.

При удвоении скорости сила растёт в 4 раза, а мощность — в 8 раз. Вот почему быстрая езда так дорого обходится.

Примеры из жизни

Пульверизатор и карбюратор: быстрый поток воздуха над трубкой понижает давление и засасывает жидкость.
Притяжение кораблей: вода между бортами течёт быстрее, давление там меньше.
Крыша при урагане: ветер над крышей понижает давление, и её «приподнимает» изнутри.
Закрученный мяч (эффект Магнуса): с одной стороны воздух движется быстрее, мяч летит по дуге.

Немного истории

Уравнение неразрывности знал ещё Леонардо да Винчи. Формулу скорости истечения нашёл ученик Галилея Эванджелиста Торричелли в 1643 году. Даниил Бернулли опубликовал закон в книге «Гидродинамика» (1738), работая в Петербургской академии наук. Теорию подъёмной силы крыла построил «отец русской авиации» Николай Жуковский в 1906 году.

Типичные ошибки

Думать, что в узкой части трубы давление больше («жидкость сжимается»). Наоборот: скорость больше, давление меньше.
Применять уравнение Бернулли к вязкому или турбулентному течению без оговорок.
Забывать, что сопротивление растёт как квадрат скорости, а мощность — как куб.
Использовать в $S_1 v_1 = S_2 v_2$ диаметры вместо площадей (площадь пропорциональна квадрату диаметра).

Что дальше

Энергия колебаний и резонанс — энергия колебаний.
Основы молекулярно-кинетической теории — молекулярное строение жидкостей и газов.