Силы в природе

Зачем это нужно

Законы Ньютона говорят, как сила меняет движение, но не говорят, откуда берутся силы и как их рассчитать. Чтобы решить реальную задачу, нужно знать конкретные силы: тяготения, упругости, трения. Удивительно, но в механике почти все силы сводятся к двум фундаментальным взаимодействиям: гравитационному (тяготение) и электромагнитному (упругость и трение возникают из-за взаимодействия атомов). Эта тема — справочник сил, которым мы будем пользоваться во всей механике. Для каждой силы важно знать, от чего она зависит, куда направлена и к какому телу приложена.

Сила всемирного тяготения

$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}, \qquad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}.$

Сила тяжести — сила притяжения тела к Земле: $F = mg$, где $g = G\frac{M}{R^2} \approx 9{,}8$ м/с² у поверхности. На высоте $h$: $g_h = g\frac{R^2}{(R + h)^2}$. На высоте, равной радиусу Земли, $g$ в 4 раза меньше.

Разобранный пример 1 (тяготение на Марсе)

Масса Марса составляет 0,107 массы Земли, радиус — 0,53 радиуса Земли. Найдите ускорение свободного падения на Марсе.

$g_М = g \cdot \frac{0{,}107}{0{,}53^2} \approx 9{,}8 \cdot 0{,}38 \approx 3{,}7$ м/с². Человек на Марсе весил бы почти в три раза меньше, чем на Земле, хотя его масса не изменилась бы.

Сила упругости и закон Гука

При деформации тела в нём возникает сила упругости, стремящаяся вернуть тело в исходное состояние. При малых деформациях выполняется закон Гука:

$F_{\text{упр}} = k|x|,$

где $x$ — удлинение (сжатие), $k$ — жёсткость (Н/м). К силам упругости относятся сила натяжения нити и сила реакции опоры $N$ (опора слегка деформируется).

Соединение пружин: при последовательном $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ (система получается мягче), при параллельном $k = k_1 + k_2$ (система получается жёстче).

Разобранный пример 2

Пружины жёсткостью 100 и 300 Н/м. Найдите общую жёсткость при последовательном и параллельном соединении. Последовательно: $\frac{1}{k} = \frac{1}{100} + \frac{1}{300} = \frac{4}{300}$, $k = 75$ Н/м. Параллельно: 400 Н/м.

Сила трения

• Трение покоя не даёт телу сдвинуться. Оно равно по модулю приложенной силе и может расти до наибольшего значения $\mu N$.
• Трение скольжения при движении: $F_{\text{тр}} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения (зависит от материалов и обработки поверхностей, но почти не зависит от площади соприкосновения).
• Трение качения во много раз меньше трения скольжения — поэтому изобрели колесо и подшипники.
• Сопротивление жидкости или газа растёт со скоростью; при падении в воздухе тело разгоняется до предельной скорости, когда сопротивление уравновешивает силу тяжести (у парашютиста до раскрытия парашюта около 50–60 м/с).

Трение полезное и вредное. Без трения нельзя было бы ходить, ехать на автомобиле, держать предметы в руках, завязать узел. Поэтому зимой дороги посыпают песком, а на подошвы делают рельефный протектор. В то же время трение в механизмах приводит к износу и потерям энергии; его уменьшают смазкой и подшипниками. Коэффициент трения резины по сухому асфальту около 0,7, по льду — около 0,1.

Разобранный пример 3

Ящик 20 кг, $\mu = 0{,}3$. Его толкают силой 50 Н, затем 80 Н. Найдите силу трения и ускорение.

Наибольшее трение покоя $0{,}3 \cdot 200 = 60$ Н. При 50 Н ящик стоит, трение покоя 50 Н. При 80 Н он едет: трение 60 Н, $a = \frac{80 - 60}{20} = 1$ м/с².

Вес. Невесомость и перегрузки

Вес $\vec{P}$ — сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Это не сила тяжести: она приложена к опоре. В покое $P = mg$, при ускорении вверх $P = m(g + a)$ — перегрузка, при ускорении вниз $P = m(g - a)$, при свободном падении $P = 0$ — невесомость.

Разобранный пример 4 (перегрузка лётчика)

Самолёт выходит из пике по дуге радиусом 500 м со скоростью 100 м/с. Во сколько раз вес лётчика больше нормального?

$a = \frac{v^2}{R} = 20$ м/с², направлено вверх к центру дуги. $P = m(10 + 20) = 3mg$ — перегрузка «3g».

Типичные ошибки

• Путать вес и силу тяжести: они приложены к разным телам.
• Считать силу трения покоя всегда равной $\mu N$.
• Подставлять в закон Гука длину пружины вместо удлинения.
• Думать, что в невесомости на космонавта не действует сила тяжести.
• Неверно складывать жёсткости последовательно соединённых пружин.

Что дальше

• Импульс. Работа и мощность — импульс, работа и мощность.
• Твёрдые тела. Деформации — механические свойства твёрдых тел.