Равноускоренное движение. Свободное падение. Баллистика

Зачем это нужно

Баскетболист, забрасывающий мяч в кольцо, футболист, бьющий штрафной, пожарный, направляющий струю воды, — все они, сами того не зная, решают задачу баллистики: под каким углом и с какой скоростью бросить тело, чтобы оно попало в цель. В этой теме мы объединим равноускоренное движение из 9 класса с векторным описанием и научимся рассчитывать полёт тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту.

Равноускоренное движение в векторной форме

При постоянном ускорении $\vec{a}$:

$\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t, \qquad \vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a}t^2}{2}.$

В проекциях на оси каждое уравнение распадается на два независимых: движение по $x$ и по $y$ можно рассчитывать отдельно. Это главная идея баллистики.

Свободное падение

Вблизи Земли без сопротивления воздуха все тела движутся с ускорением $\vec{g}$, направленным вниз, $g \approx 9{,}8$ м/с² (в задачах часто 10 м/с²). Направим ось $y$ вверх, тогда $a_x = 0$, $a_y = -g$:

$x = x_0 + v_{0x}t, \qquad y = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}.$

По горизонтали тело движется равномерно, по вертикали — равноускоренно.

Бросок горизонтально

Тело брошено горизонтально со скоростью $v_0$ с высоты $h$.

• Время полёта: $h = \frac{gt^2}{2}$, $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ — такое же, как при свободном падении без начальной скорости.
• Дальность: $L = v_0 t$.
• Скорость при падении: $v = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$.

Разобранный пример 1

Камень брошен горизонтально с высоты 20 м со скоростью 15 м/с. Найдите время полёта, дальность и скорость при падении ($g = 10$ м/с²).

$t = \sqrt{\frac{40}{10}} = 2$ с, $L = 30$ м, $v_y = 20$ м/с, $v = \sqrt{225 + 400} = 25$ м/с.

Бросок под углом к горизонту

Разложим начальную скорость: $v_{0x} = v_0\cos\alpha$, $v_{0y} = v_0\sin\alpha$.

Траектория — парабола. Дальность наибольшая при $\alpha = 45^\circ$, а углы $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ дают одинаковую дальность (навесная и настильная траектории).

Откуда формулы. В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: $v_0\sin\alpha - gt = 0$, значит, время подъёма $\frac{v_0\sin\alpha}{g}$, а всё время полёта вдвое больше (спуск симметричен подъёму). Высоту находим по формуле $H = \frac{v_{0y}^2}{2g}$ из 9 класса. Дальность — горизонтальная скорость, умноженная на время полёта: $L = v_0\cos\alpha \cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{g}$, и формула двойного угла даёт $\sin 2\alpha$. Исключив время из уравнений движения, получаем уравнение траектории: $y = x\operatorname{tg}\alpha - \frac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$ — это квадратичная функция, поэтому траектория — парабола.

Разобранный пример 2

Мяч брошен со скоростью 20 м/с под углом $45^\circ$. Найдите дальность, высоту и время полёта.

$L = \frac{400 \cdot 1}{10} = 40$ м, $H = \frac{400 \cdot 0{,}5}{20} = 10$ м, $T = \frac{2 \cdot 20 \cdot 0{,}707}{10} \approx 2{,}83$ с.

Разобранный пример 3

То же при угле $30^\circ$. $T = \frac{2 \cdot 20 \cdot 0{,}5}{10} = 2$ с, $H = \frac{400 \cdot 0{,}25}{20} = 5$ м, $L = \frac{400 \cdot \sin 60^\circ}{10} \approx 34{,}6$ м. При $60^\circ$ дальность такая же, но высота втрое больше — 15 м.

Разобранный пример 4 (сброс груза)

Самолёт летит горизонтально на высоте 500 м со скоростью 100 м/с. За сколько метров до цели (по горизонтали) нужно сбросить груз?

Время падения $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 500}{10}} = 10$ с. За это время груз пролетит вперёд вместе с самолётом $100 \cdot 10 = 1000$ м. Относительно лётчика груз падает строго вниз, под самолётом: горизонтальные скорости у них одинаковы.

Реальный полёт

Формулы выведены без учёта сопротивления воздуха. Для тяжёлого ядра на небольших скоростях они хороши, а для футбольного или теннисного мяча на скорости 30 м/с сопротивление сокращает дальность в полтора-два раза, и наивыгоднейший угол оказывается меньше $45^\circ$. Закрученный мяч ещё и отклоняется вбок из-за эффекта Магнуса — так получается «сухой лист».

Немного истории

Средневековые учёные считали, что ядро летит сначала по прямой, а потом резко падает вниз. Галилей первым показал, что траектория брошенного тела — парабола, сложив равномерное горизонтальное движение и равноускоренное вертикальное. Он же доказал, что наибольшая дальность достигается при угле $45^\circ$. Сегодня баллистику используют при расчёте траекторий космических аппаратов на участках, где двигатели выключены.

Типичные ошибки

• Считать, что горизонтальная скорость меняется во время полёта.
• Забывать, что в верхней точке скорость не равна нулю: остаётся $v_0\cos\alpha$.
• Путать $\sin^2\alpha$ в формуле высоты и $\sin 2\alpha$ в формуле дальности.
• Брать время горизонтального броска зависящим от $v_0$: оно зависит только от высоты.
• Ставить неправильные знаки проекций при выборе оси $y$.

Что дальше

• Движение по окружности. Кинематика твёрдого тела — движение по окружности.
• Законы Ньютона в векторной форме — причины ускорения: законы Ньютона.