Кинематика. Равноускоренное движение

Зачем это нужно

Автомобиль разгоняется на светофоре, мяч летит вверх и падает, поезд тормозит у платформы. Во всех этих случаях скорость меняется. Кинематика — раздел механики, который описывает движение (где тело находится и как быстро движется), не задаваясь вопросом о причинах. Без неё нельзя рассчитать тормозной путь машины, время разгона самолёта или траекторию ракеты. Формулы этой темы понадобятся во всей механике 9–11 классов.

Основные понятия

Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Самолёт на карте полёта — точка, а при посадке в ангар — нет.
Система отсчёта — тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы.
Траектория — линия, по которой движется тело; путь $l$ — её длина.
Перемещение $\vec{s}$ — вектор из начального положения в конечное. Путь не меньше модуля перемещения: пробежав круг стадиона, вы прошли 400 м, а перемещение равно нулю.

При равномерном прямолинейном движении скорость постоянна, и координата меняется по закону $x = x_0 + v t$ .

Ускорение

Равноускоренным называют движение, при котором скорость за любые равные промежутки времени меняется одинаково. Быстроту изменения скорости характеризует ускорение:

$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}, \qquad [a] = \text{м/с}^2.$

Ускорение $2$ м/с² означает: каждую секунду скорость растёт на $2$ м/с. Если проекции скорости и ускорения на ось имеют разные знаки, тело тормозит.

Формулы равноускоренного движения

Величина	Формула
скорость	$v = v_0 + a t$
перемещение	$s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$
координата	$x = x_0 + v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$
без времени	$s = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}$
через среднюю скорость	$s = \dfrac{v_0 + v}{2} \, t$

Все величины здесь — проекции на выбранную ось, они могут быть отрицательными.

Графики

Слева график скорости — наклонная прямая, площадь под ней закрашена и равна перемещению; справа график координаты — парабола с вершиной в момент остановки

График скорости $v(t)$ — прямая; её наклон равен ускорению.
Площадь под графиком скорости равна перемещению. Из площади трапеции и получается формула $s = \frac{v_0 + v}{2} t$ .
График координаты $x(t)$ — парабола. Её ветви направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$ .

Галилей заметил, что при разгоне из покоя пути, пройденные за последовательные равные промежутки времени, относятся как $1 : 3 : 5 : 7 : \ldots$

Разобранный пример 1

Автомобиль трогается с места и за 10 с разгоняется до 20 м/с. Найдите ускорение и путь разгона.

$a = \frac{20 - 0}{10} = 2$ м/с².
$s = \frac{a t^2}{2} = \frac{2 \cdot 100}{2} = 100$ м.

Разобранный пример 2

Автомобиль едет со скоростью 72 км/ч и тормозит с ускорением 4 м/с². Найдите время торможения и тормозной путь.

$72$ км/ч $= 20$ м/с.
$t = \frac{20}{4} = 5$ с.
$s = \frac{v_0^2}{2|a|} = \frac{400}{8} = 50$ м.

Тормозной путь пропорционален квадрату скорости: при 144 км/ч он будет уже 200 м, а не 100.

Разобранный пример 3

Координата тела меняется по закону $x = 3 + 2t + t^2$ (в СИ). Найдите $x_0$ , $v_0$ , $a$ и скорость через 3 с.

Сравниваем с $x = x_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}$ : $x_0 = 3$ м, $v_0 = 2$ м/с, $\frac{a}{2} = 1$ , то есть $a = 2$ м/с².
$v = 2 + 2 \cdot 3 = 8$ м/с.

Относительность движения

Скорость, траектория и перемещение зависят от системы отсчёта. Пассажир сидит неподвижно относительно вагона, но движется относительно платформы. Закон сложения скоростей: скорость тела относительно Земли равна сумме его скорости относительно движущейся системы и скорости самой системы: $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$ .

Разобранный пример 4

Поезд идёт со скоростью 15 м/с, пассажир идёт по вагону со скоростью 1 м/с. Какова его скорость относительно Земли?

По ходу поезда: $15 + 1 = 16$ м/с. Против хода: $15 - 1 = 14$ м/с.

Как решать задачи по кинематике

Сделайте рисунок, выберите тело отсчёта и направьте координатную ось.
Переведите все величины в СИ.
Запишите проекции начальной скорости и ускорения с учётом знаков.
Выберите формулу: если время не дано и не нужно, удобна $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$ .
Проверьте ответ на разумность: тормозной путь легковой машины — десятки метров, а не километры.

Немного истории

Аристотель считал, что тяжёлые тела падают быстрее лёгких, а скорость тела без постоянного толчка сразу пропадает. Галилео Галилей в начале XVII века скатывал шары по наклонному жёлобу и измерял время по количеству вытекшей воды. Он установил, что пройденный путь растёт пропорционально квадрату времени, и тем самым открыл равноускоренное движение.

Типичные ошибки

Путать путь и перемещение.
Подставлять скорость в км/ч вместе с ускорением в м/с²: сначала переведите в м/с (делим на 3,6).
Забывать знак ускорения при торможении.
Считать, что площадь под графиком $x(t)$ — это путь. Путь — это площадь под графиком скорости.
Терять множитель $\frac{1}{2}$ в формуле $\frac{at^2}{2}$ .

Что дальше

Законы Ньютона — почему тела получают ускорение: законы Ньютона.
Кинематика точки. Векторное описание движения — векторное описание движения, движение тела, брошенного под углом к горизонту.